עוזי עילם נולד בשנת 1934 בישראל. בשנת 1952 התגייס לצה"ל במסגרת גדודי הנוער (גדנ"ע) ובהמשך השתלב במסלול העתודה האקדמאית. בשנת 1954 הוסמך כקצין ולאחר מכן התנדב לצנחנים והיה למפקד מחלקה בגדוד 890. הוא השתתף בשורה של פעולות תגמול, ובכלל זה במבצע חץ שחור בו פשט הגדוד על מחנה צבאי מצרי ברצועת עזה. על תפקודו בפשיטה תוך כדי פציעה הוענק לו ציון לשבח מהרמטכ"ל שלימים הומר לעיטור העוז.
בשנים 1956-1955 שימש כסגן מפקד פלוגה בגדוד 890. בשנים 1957-1956 פיקד על פלוגה רובאית בגדוד הנח"ל המוצנח 88, שהיה כפוף לחטיבת הצנחנים הסדירה 202, ולחם עימה במערכת סיני. בתום תפקידו השתחרר מצה"ל ובמערך המילואים פיקד בשנים 1962-1958 על פלוגה בגדוד 98 בחטיבת הצנחנים במילואים 80 ובשנים 1964-1962 שימש כסגן מפקד הגדוד.
בשנת 1967, כחודש לפני פרוץ מלחמת ששת הימים, התגייס לשירות קבע בצה"ל. בשנים 1969-1967 עמד בראש ענף במחלקת אמצעי לחימה (אמל"ח) באגף המטה (אג"ם) ובמינוי משני פיקד על גדוד 71 בחטיבת הצנחנים במילואים 55. בתחילת המלחמה נשלח עם הגדוד לחזית הירדנית והוביל אותו בלחימה במרחב העירוני של מזרח ירושלים. הגדוד בפיקודו כבש את ואדי ג'וז, את המושבה האמריקאית ואת שכונת באב אל-זהרה וטיהר אותם. בהמשך פרץ לעיר העתיקה דרך שער האריות ובמהלך פעולת הטיהור שלה מכוחות אויב נפצע.
בשנים 1970-1969 שימש כסגן מפקד חטיבת הבקעה ובשנים 1971-1970 פיקד עליה. במסגרת תפקידיו שם ניהל את הלחימה נגד חדירות מחבלים מגבול ירדן במסגרת מלחמת ההתשה בחזית המזרחית.
בשנים 1972-1971 עמד בראש מחלקת אמל"ח באג"ם ובשנים 1973-1972 שימש כסגן מפקד היחידה למחקר ופיתוח (מו"פ) המשותפת לצה"ל ולמשרד הביטחון. בשנים 1975-1973 פיקד על היחידה בדרגת תת אלוף ומתוקף תפקידו נמנה על פורום המטה הכללי. בתקופת כהונתו פרצה מלחמת יום הכיפורים והוא היה שותף לתהליך קבלת ההחלטות בפיקוד העליון בכל האמור לניהולה. בשנת 1976 השתחרר משירות קבע בצה"ל. זמן קצר אחר כך מונה למנכ"ל הוועדה לאנרגיה אטומית, האחראית להכוונת המחקר בתחום הגרעין, ומילא תפקיד זה במשך כעשור.
בשנים 1997-1986 עמד בראש המנהלת לפיתוח אמצעי לחימה ותשתית טכנולוגית (מפא"ת), המשותפת לצה"ל ולמשרד הביטחון, ושוב היה חבר בפורום המטה הכללי. בתקופת כהונתו קודמו פרויקטים בתחום החלל, בדגש על פיתוח ושיגור לווייני הצילום מסדרת אופק, ובתחום ההגנה מטילים בליסטיים, בדגש על פיתוח מערכת החץ.
בשנת 2002 קיבל את פרס ביטחון ישראל על מפעל חיים.