דוד עברי נולד בשנת 1934 בישראל. בשנת 1952 התגייס לצה"ל והתנדב לקורס טיס. עם סיום הקורס הוצב בבסיס חיל האוויר ברמת דוד, שם החל לטוס על מטוסי ספיטפייר ובהמשך על מטוסי מוסטנג. בשנת 1955 עבר הסבה למטוסי סילון בטייסת 117 והיה חבר בצוות ההקמה של טייסת 113, המבוססת על מטוסי אוראגן בבסיס חיל האוויר בחצור.
בשנת 1956 הדריך בבית הספר לטיסה ובמערכת סיני השתתף בלחימה במסגרת טייסת 113. בשנת 1957 התמנה לסגן מפקד הטייסת, וכעבור כשנתיים קיבל ציון לשבח על פעילות מסווגת במסגרת שירותו בה. בשנת 1960 למד במכללה הבין זרועית לפיקוד ומטה, ובשנת 1961 השתלם במסגרת חיל האוויר הצרפתי על מטוס המיראז'-3, ונמנה על צוות הקליטה שלו.
בשנת 1962 היה חבר בצוות ההקמה של טייסת 117 כטייסת מיראז', ובשנת 1963 פיקד על טייסת 109, המבוססת על מטוסי מיסטר. בשנים 1966-1964 פיקד על טייסת 117 ובתקופת כהונתו השתתפה הטייסת במערכה על מקורות המים מול סוריה. בשנים 1968-1966 פיקד על בית הספר לטיסה, שבמהלך כהונתו עבר מבסיס חיל האוויר בתל נוף לבסיס חצרים. תוך כדי תפקידו פרצה מלחמת ששת הימים והוא לחם בה כטייס מיראז' בטייסת 101, ושימש כמפקד טייסת הפוגות לאחר נפילת מפקדה.
בשנים 1969-1968 עמד בראש ענף מבצעים במטה החיל, ובשנים 1970-1969 שימש כעוזר ראש מחלקת אוויר למבצעים ומילא חלק מרכזי בהיבטי התכנון המבצעי האווירי במלחמת ההתשה. בשנים 1973-1970 פיקד על בסיס חיל האוויר בתל נוף ובשנים 1974-1973 עמד בראש מחלקת אוויר. בתקופת כהונתו פרצה מלחמת יום הכיפורים, וכמי שנחשב לאיש מספר 2 בחיל היה מעורב בתכנון האופרטיבי, ניהל מעת לעת את מוצב השליטה והשתתף בדיונים ברמה האסטרטגית.
לאחר המלחמה נערך רה-ארגון בחיל ובשנים 1975-1974 עמד בראש להק אוויר. עם סיום תפקידו למד בשנים 1977-1975 בחוג להנדסת אווירונאוטיקה בטכניון. בשנים 1982-1977 פיקד על חיל האוויר בדרגת אלוף. בתקופת כהונתו פונו בסיסי החיל מסיני בשל יישום הסכם השלום עם מצרים, ובמקומם הוקמו בסיסים חדשים בנגב. בנוסף, ביצע חיל האוויר בתקופתו פעילות מבצעית ענפה, שכללה את השמדת הכור הגרעיני בעיראק, את השמדת מערך טילי הקרקע-אוויר הסורי בבקעת הלבנון, ואת הפלתם של עשרות מטוסים סוריים בקרבות אוויר במלחמת שלום הגליל.
בשנת 1983 השתחרר משירות קבע בצה"ל, אך כעבור חודשים ספורים שב לשירות ובמשך כשנתיים שימש כסגן הרמטכ"ל וכראש אגף המטה. בשנת 1985 השתחרר בשנית משירות קבע בצה"ל. בשנים 1996-1986 שימש כמנכ"ל משרד הביטחון ובשנים 2000-1999 עמד בראש המועצה לביטחון לאומי. בשנים 2002-2000 שימש כשגריר ישראל בארצות הברית.